Раздел 1. ТЕЗИС. Формальная ЛОГИКА.

Пролегомены к формализованной содержательной логике

Знанию свойственно со временем превращаться в предРАССУДОК...
(при одновременном забвении граничных условий достоверности
данного вида ЗНАНИЯ).

§ 1.2. Основные законы Формальной ЛОГИКИ (аксиомы) и аксиоматика.

Мировоззренческий спор об универсалиях и предметная область рассмотрения в формальной логике

Господствующее мировоззрение диктует и свою логику, которая, по идее, должна адекватно отражать "реальность" на исторически обусловленном уровне понимания этой самой реальности.

Кстати, под термином "реальность" всего 200 лет назад понималось диаметрально противоположное тому, что сегодня под этим понимает научный реализм. Форма понятия осталась та же, а содержание его изменилось на противоположное: в Средние века "реальность" понималась в платоновском смысле как независимое от сознания идеальное (реальное) существование "Мира вечных идей", чьей бледной копией является наш бренный (эфемерный, нереальный), материальный мир (сегодня этой концепции придерживается так называемый Математический платонизм).

Соответственно приверженцев средневекового платонизма называли реалистами (господствующий взгляд на реальность в её средневековом (медиевиальном) понимании), а их оппонентов - номиналистами. Дискуссии между ними продолжались более 300 лет и известны сегодня как "Спор об универсалиях".

         Онтологический
      статус
   УНИВЕРСАЛИЙ

/ \

РЕАЛИЗМ НОМИНАЛИЗМ (после вещей)

/ \ / \

Платонизм    Аристотелизм Концептуализм Оккамизм
(до вещей)    (в вещах) (Абеляр) (терминизм)
{реально {логические    {только слова}
существуют конструкты
      в МИРЕ    в процессе
   Вечных ИДЕЙ} мышления}

К общему мнению реалисты и номиналисты (всех оттенков данных мировоззрений - с обеих сторон были и крайние и умеренные представители) так и не пришли. Похоже это на современную ситуацию постмодернизма в философии, как Вы думаете?

Начиная с 4-3 века до н.э. и практически до сегодняшнего дня единственной логикой, которая одновременно была и до сих пор для большинства людей на Земле остаётся основой, субстратом "здравого смысла", являлась классическая (традиционная) Формальная логика. До середины ХIХ века она была представлена силлогистикой Аристотеля, просуществовавшей к тому времени почти 2500 лет и являвшейся единственным и господствующим видом логики (абсолютизация чего бы то ни было суть всегда ошибка, но в данном случае эта ошибка была сродни религиозным догмам).

Сомневающиеся в том, что Формальная логика тотальна и является наукой о законах правильного мышления, появились лишь в конце XVI начале XVII века: Френсис Бэкон, Рене Декарт, Томас Гоббс, Джон Локк подвергли жестокой критике схоластическую выхолощенную логику, поставив в познании на первое место опыт, практику. Решающие шаги в создании принципиально иной логической парадигмы были сделаны Кантом и Гегелем только через сто лет.

"Ружьё №4":

Предметную область рассмотрения (ПОР) формальной логики (ФЛ) всегда по умолчанию составлял весь (!) мыслимый универсум. Что это означает? До сегодняшнего дня многие логики и философы считают, с одной стороны, что любое суждение может анализироваться с точки зрения ФЛ, а с другой стороны, все понятия естественного языка считаются изоморфными, то есть обладающими общими базовыми свойствами, соответствующими ядру парадигмы ФЛ (системе аксиом и аксиоматике)!

Логические позитивисты "Венского кружка" в начале ХХ века сделали из этого правила исключение, выбросив из универсума все чисто философские и, в том числе, этические и эстетические категории и суждения, построенные на их основе, назвав их псевдопроблемами. При этом ими было принципиально отмечено, что данные понятия являются "размытыми" и неформализуемыми {с точки зрения ФЛ!!!}.

Основные законы Формальной ЛОГИКИ (аксиомы)

Ядро логической парадигмы Формальной логики составляют четыре аксиомы или Основных логических закона:

1)закон достаточного основания: Никакое суждение не может утверждаться без достаточного основания.

2) закон тождества: В процессе умозаключения всякое понятие и суждение должны оставаться тождественными самим себе.

3) закон исключенного третьего (ЗиТ): Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано.

4) закон непротиворечия: Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении.

В классической ФЛ «перечисленные законы играют особо важную роль, являются наиболее общими, используются при оперировании понятиями и суждениями, применяются в умозаключениях, доказательствах и опровержениях» (огромная благодарность А.Д.Гетмановой за все её книги по логике). Практически во всех диалектах ФЛ (формальных неклассических логиках) эти законы присутствуют (за исключением ЗиТ и закона непротиворечия) и входят в состав аксиом. Второй, третий и четвёртый были открыты Аристотелем, первый, значительно позднее, - Лейбницем.

Причём закон достаточного основания собственно Законом ФЛ не является, это закон Металогики, так как сегодня нельзя привести ни одного примера логической системы, которая бы его не содержала. Именно поэтому он не имеет в ФЛ формальной интерпретации, а лишь содержательную. Этот закон имеет до такой степени качественно не тривиальную сущность, что многие вообще стараются на нём подробно не останавливаться, отделываясь простым перечислением возможных ОСНОВАНИЙ. Но как обосновать их ДОСТАТОЧНОСТЬ? Пока Вы не обосновали ЗАКЛЮЧЕНИЕ, вы не можете быть уверены в достаточности ОСНОВАНИЯ!

Но отсюда следует, что исходные посылки в Вашем умозаключении никогда невозможно назвать априори Достаточным ОСНОВАНИЕМ! И, наоборот, иногда бывает и так, что исходные предпосылки (идеи, гипотезы) противоречат исторически обусловленному знанию, а установка, построенная на их основе, реально работает! Только потом, апостериори становится признанным, что исторически обусловленное знание было не совсем адекватно реальности. Всё это говорит о том, что понятие “Достаточное ОСНОВАНИЕ” противоречиво уже в самой своей сущности.

В эпиграфе к этому параграфу под предРАССУДКОМ автор имеет в виду исходные предпосылки по умолчанию входящие в Достаточное ОСНОВАНИЕ любого умозаключения.

Все остальные аксиомы, даже закон тождества, могут входить или не входить в систему аксиом. Кроме того, в ФЛ имеются ещё, как минимум, две аксиомы, принимаемые по умолчанию. Здесь уместно вспомнить, что, изменив аксиому, принимаемую физиками по умолчанию, Эйнштейн построил специальную теорию относительности: время считалось по умолчанию изоморфным в любой системе отсчёта, что оказалось ложным допущением, основанным лишь на вульгарно понимаемой “очевидности”! Ничего “очевидного” в науке не бывает!

Эти аксиомы никто и никогда собственно в рамках парадигмы ФЛ в явном виде не выписывал, а появились они в качестве принципиально значимых только в Диалектической логике (естественно, совсем в иной формулировке).

Закон абсолютного знания (Принцип ПОЗНАВАЕМОСТИ)

"Ружьё №5":

5) (Принцип ПОЗНАВАЕМОСТИ) закон абсолютного знания - в ФЛ предполагается априори, что о любом СУЖДЕНИИ из ПОР заранее известно (до проведения умозаключения из этого СУЖДЕНИЯ как ОСНОВАНИЯ) его значение ИСТИННОСТИ, которое присваивается внесистемными средствами вне рамок ФЛ. Так в двузначной, традиционной логике должно быть заранее известно ИСТИННО данное СУЖДЕНИЕ или ЛОЖНО. В рамках самой парадигмы ФЛ это установить невозможно!

Об этом же в двузначной, традиционной логике говорит ЗиТ. Но дело не в двузначности, не в количестве значений ИСТИННОСТИ вообще. Если ИСТИННОСТЬ какого-либо СУЖДЕНИЯ не определена, то и ЗАКЛЮЧЕНИЕ будет неопределённым! В трёхзначной логике Лукасевича (1920) для неопределённых СУЖДЕНИЙ принято значение ИСТИННОСТИ 0,5, но это ничего не даёт для определённости ЗАКЛЮЧЕНИЯ.

Дело в том, что в любом диалекте ФЛ (неклассической логике) для того, чтобы провести умозаключение с необходимостью предполагается определённость ИСТИННОСТИ всех СУЖДЕНИЙ в умозаключении.

Иначе механизм ФЛ работать не может. Это обусловлено тем, что весь вывод в ФЛ базируется на равносильных преобразованиях из ОСНОВАНИЯ, ИСТИННОСТЬ которого однозначно априори определена!

В многозначных логиках, также как и в двузначной логике, внутри парадигмы ФЛ значение ИСТИННОСТИ суждениям не присваиваются. Это делается где-то вне логики, металогическими средствами, а в ФЛ такого "механизма", алгоритма не существует! Кто-то (Бог?) заранее, до запуска ФЛ, должен позаботиться о том, чтобы в уравнениях ФЛ всё было определено!

_______________________________________________________

Примечание: 1. Именно этот момент ФЛ саркастически высмеивал Гегель, обвиняя ФЛ в том, что эта логика ничего существеннее формальных тавтологий породить не в состоянии. В этом, как показала практика и история, Гегель оказался, безусловно, прав: качественно новые результаты в парадигме ФЛ в ХХ веке были получены внесистемными средствами с помощью средств Металогики (например, Лейтзен Энгеберт Брауэр – отмена статуса общезначимости у ЗиТ: “девять “девяток” подряд в числе , Курт Гёдель – “теорема о неполноте”).

2. В Дианомической логике мы всегда имеем дело со Становящимся ОСНОВАНИЕМ! ОСНОВАНИЕМ, которое качественно саморазвивается в ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ формализма!!! Вдумайтесь: нечто качественно движется по своему ЗНАЧЕНИЮ и СМЫСЛУ и одновременно является ОСНОВАНИЕМ для УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ!

_______________________________________________________

В технических приложениях ФЛ (скажем для автоматизации технологических процессов) проблема Определённости ОСНОВАНИЯ умозаключения становится очень прозрачной в тот момент, когда часть комплектующих элементов, на которых построена логика, выходит из строя (должно быть понятно, что совершенно безразлично как объективирована сама логика: на реле или на мультипроцессорных БИС)!

Предположим, вышла из строя часть сенсоров, поставляющих в логику значения ИСТИННОСТИ. Это равносильно тому, что человек мгновенно лишился части органов чувств, например, зрения, слуха, осязания. И в связи с этим может очень мало сказать об изменившейся среде: он продолжает чувствовать температуру, запах, вибрацию, гравитацию, но более ничего! Порождать прогнозы в условиях неполного знания ФЛ не умеет! А человек может! Так как пользуется, не отдавая себе в этом отчёт, принципиально иной логикой.

Какой логикой? На чём она, эта принципиально иная логика, базируется? На памяти прошлых состояний, на собственном и Общечеловеческом ОПЫТЕ, т.е. на результатах ПРАКТИКИ. Всё это позволяет человеку даже в условиях неполной и вероятностной информации строить прогнозы, "угадывать" тенденции развития ситуации. При этом мышление человека строится принципиально неформально!

Всё вышеперечисленное в предыдущем абзаце является для ФЛ внесистемными средствами, совершенно для неё недоступными. Уже несколько десятилетий этот дефект ФЛ пытаются исправить в технических приложениях путём создания так называемых "экспертных систем".

Параллельно управляющей системе создаётся информационно-экспертная система, которая помогает выходить из сбойных ситуаций. Но как она построена? Это всё та же "жёсткая логика", базой данных для которой являются заранее сформированные советы "экспертов", знающих, как выходить из некоторого конечного набора сбойных ситуаций. И всё. Интеллекта в таких системах на самом деле не больше, чем у арифмометра, так как построены эти системы на принципе Лаплассовского детерминизма.

Если речь идёт о больших комплексах систем, то такая информационно-экспертная система может в лучшем случае указать место сбоя (отказа) с точностью до сменного элемента. В условиях неполной или, тем более, вероятностной информации такие информационно-экспертные системы уже бесполезны. Требуется вмешательство человека.

Закон первичности идеи над её материальной интерпретацией (Принцип ПРЕПОЗИЦИИ)

"Ружьё №6":

6) (Принцип ПРЕПОЗИЦИИ) закон первичности идеи над её материальной интерпретацией. Господствующее религиозное МИРОВОЗЗРЕНИЕ с очевидной ясностью не оставляло никаких сомнений в том, что это так, а не иначе.

А сегодня дело в этом вопросе доходит даже до того, что для синтезированного математиком воображаемого мира область интерпретации вводится как ad hoc-гипотеза. Пример: так называемая "Логика квантовой механики", которая никакого отношения к Квантовой механике не имеет.

Значительное число математиков и сегодня придерживаются мировоззренческой позиции так называемого Математического платонизма от ортодоксального (Алфред Норт Уайтхед, Роджер Пенроуз) до "умеренного скептического" (Н.Н.Непейвода).

При решении прикладной задачи в том случае, если поведение сгенерированной математической модели оказывается неадекватно поведению моделируемого объекта (процесса), математик, ничтоже сумляшеся, отвечает заказчику на его обвинения в адрес ФЛ в том смысле, что «Вы, уважаемый заказчик, сами выбрали для моделирования парадигму ФЛ. Дело в правильности вашего собственного выбора, а ФЛ здесь ни причём». Никто из математиков-платонистов, в частности тех, кто сегодня занимается созданием программно-аппаратных комплексов, даже не задумывается, что первичной в этом процессе является вполне «материальная» потребность реальной практики, которая это создание и ОПЛАЧИВАЕТ!…

Принцип препозиции – неотъемлемая мировоззренческая аксиома любой логической парадигмы, но осознаётся исследователем-логиком только на этапе интерпретации логической модели, то есть при аппликации модели на реальную практику и появлении “весовых коэффициентов” в процессе установления адекватности модели. Если логик имеет дело исключительно с неким виртуальным миром, то эта аксиома себя практически не проявляет, что и создаёт ИЛЛЮЗИЮ её отсутствия в логической парадигме.

То, что логическая парадигма ФЛ является всего лишь одной из возможных идеализаций реальности, одной из возможных логических парадигм, причём со значительными ограничениями области своего применения, начало осознаваться только в конце XVIII начале XIX века.

Фигурально говоря, ФЛ суть логика "глыбы льда в условиях вечной мерзлоты", логика "мгновенной фотографии реальности", которая не допускает в соответствие с Законом ТОЖДЕСТВА ни качественного движения понятия, ни качественного движения суждения в рамках умозаключения, что возможно только при предельном уровне абстрагирования от реальности, предельном уровне идеализации.

Уже здесь заложен фундаментальный вопрос:

Возможно ли существование диаметрально противоположной ФЛ идеализации реальности, в которой из противоречивости следует не ЛОЖНОСТЬ, а ИСТИННОСТЬ заключения, не неправильность, а правильность УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ?!

ФЛ суть теория о законах собственной МОДЕЛИ реальности и не более!!! Формальная парадигма справедлива лишь в условиях идеализации, определяемой формально-логическим Законом ТОЖДЕСТВА и не далее!

Если ошибка данной МОДЕЛИ допустима с практической точки зрения для решения вашей конкретной задачи, то ваше мышление в соответствии с этими Аксиомами будет ПРАВИЛЬНЫМ, а если ошибка недопустима?

Основные понятия ФЛ и Теории множеств в рамках собственных идеализаций номинально не определяются, а даются ОСТЕНСИВНО, путём демонстрации на примерах. Это создаёт иллюзию, что под формализмами этих теорий может мыслиться всё, что угодно! А это принципиально неверно: может подразумеваться лишь то, лишь те объекты, которые соответствуют абстракции, задаваемой Законом ТОЖДЕСТВА.

Если ОБЪЕКТ представляет собой качественно саморазвивающийся объект-процесс, то его уже невозможно анализировать методами ФЛ.

Особо отметим тот факт, который упускают из вида неофиты: любая логическая теория суть ИДЕАЛИЗАЦИЯ и оперирует Идеализированными ОБЪЕКТАМИ (в частном случае, например, в традиционной ФЛ, с такими абстракциями как понятия).

Так как традиционная ФЛ претендовала на оперирование с любыми понятиями всего мысленного универсума, то создавалась ИЛЛЮЗИЯ, что элементами логики могут быть реальные объекты - деревья, люди, животные и т.д. Возникал соблазн БУКВАЛЬНОГО отождествления логических выводов и реальности! Однако это возможно исключительно в рамках ГУ, в которых логическая МОДЕЛЬ адекватна своему ПРЕДМЕТУ и никак иначе!

Аксиоматика Формальной ЛОГИКИ

Аксиоматика (здесь правила вывода) - процесс вывода потенциально значимых (истинных) формул исчисления (его фразеологии) из некоторого фиксируемого в том же языке набора формул-аксиом. Иначе, логический вывод в дедуктивном умозаключении суть переход от посылок (ОСНОВАНИЯ) к следствиям (ЗАКЛЮЧЕНИЯМ) по правилам логики.

В исчислении предикатов и исчислении высказываний правилами вывода являются следующие формулы, принятые без доказательства как постулаты:

Утверждающий модус (modus ponens): .

В ФЛ Утверждающий модус является по своему СМЫСЛУ следующим суждением: “Если из истинности суждения А следует истинность суждения В и А истинно, то, следовательно, истинно В”.

Правило ОБОБЩЕНИЯ: .

В ФЛ Правило ОБОБЩЕНИЯ означает следующее: из истинности суждения А следует истинность А для всех значений связанной переменной x, пробегающей множество, задаваемое А.

Таким образом, в ФЛ вывод осуществляется путём равносильных преобразований формул, исходя из аксиом и указанных правил вывода.

_______________________________________________________

Примечание: Понимание принципиальной ограниченности инструментальных средств классической традиционной и неклассических формальных логик для адекватного отражения реальности в современную эпоху связано с именами Лейтзена Эгберта БРАУЭРА (1881-1966) и Алана ТЬЮРИНГА (1912-1954).

_______________________________________________________

"Ружьё №7": Если эту проблему сформулировать в предельно сжатой форме, то резюме звучит следующим образом:

Мощность множества проблем, которые мы в состоянии решить в рамках формальных логик, равна мощности счётного множества в связи с тем, что любая формула может быть оттранслирована в рациональное число.

При этом имеется в виду, что проблемы мы решаем с применением "средств вычислительной техники", т.е. любые неформальные процедуры, при которых “Машина Тьюринга” не останавливается, исключаются.

Этот вывод является следствием проблемы ВЫЧИСЛИМОСТИ, так как и исходные данные для компьютера, и программа их обработки, и сам компьютер (его эмулятор в другой вычислительной машине) после трансляции их в объектный код, и, естественно, результат вычислений представляют собою пусть и очень большие, но конечные рациональные числа. Представить себе, что, например, операционная система компьютера в объектном коде суть пусть очень большое, но конечное рациональное число, достаточно сложно, но это так и есть, так как эта программа занимает конечный объём компьютерной памяти.

Мощность множества проблем, которые остались за границами формальных инструментальных средств, равна мощности множества континуум, т.е. их неограниченно больше чем тех проблем, которые способны разрешить формальные логики.

Это может показаться не очевидным, но, например, Вы не можете "научить" вычислительную машину решать проблемы "методом диагонализации Кантора" или "методом математической индукции".

И дело даже не в том, что "Машина Тьюринга" не остановится. И тот и другой методы содержат внутри своих процедур принципиально не алгоритмизуемые этапы, которые базируются на ПОНИМАНИИ смысла дальнейшего протекания процесса (которое, среди прочего, основывается на неполной индукции, непостижимой для “Машины Тьюринга”, то есть основывается на предельном переходе – логическом скачке!).

Дело в том, что процесс ПОНИМАНИЯ не сводим к процессу ВЫЧИСЛЕНИЯ и не может быть формализован в рамках логической парадигмы ФЛ, так как в ФЛ СМЫСЛ отождествлён со ЗНАЧЕНИЕМ, однако в реальности это возможно лишь в очень ограниченном количестве случаев...

{Современные логики этот дефект пытаются как-то скорректировать в своих определениях, однако на практике это ничего не даёт…}

С другой стороны ФЛ мешает её же закон тождества, который не позволяет анализировать в рамках ФЛ ни один предмет, который невозможно представить себе даже на коротком интервале пространства-времени формально-тождественным самому себе.

И всё-таки, как всем хотелось бы, чтобы Лейбниц оказался прав и мы, вместо того, чтобы думать, просто бы вычисляли: задал исходные данные ноутбуку и через какие-то пару секунд получил КАЧЕСТВЕННО НОВОЕ ЗНАНИЕ!!! К счастью, это невозможно! (Но и у этого правила тоже есть исключения – смотри ниже. Ничего абсолютного не бывает!)

"Ружьё №8":

С другой стороны, большинство фундаментальных физических констант НЕВЫЧИСЛИМЫ и, одновременно, являются РАЗРЕШЕНИЕМ некоторой физической проблемы!

Первыми известными в истории человечества мыслителями, которые это поняли (пусть и в другой форме), были Гераклит из Эфеса (кон. 6 — нач. 5 вв. до н.э.) и Лао-Цзы (6-5 вв. до н.э.). И поняли это практически одновременно, а между ними было не просто более пяти тысяч километров, НО пропасть принципиально различных языков и культур…

Из Диогена Лаэрция:

"...Говорят, Еврипид дал Сократу сочинение Гераклита и спросил его мнение; он ответил: “Что я понял — прекрасно; чего не понял, наверное, тоже; только, право, для такой книги нужно быть делосским ныряльщиком”...

"...А грамматик Селевк сообщает (со слов некоего Кротона в книге “Ныряльщик”), будто первым эту книгу принес в Элладу некий Кратет, сказав при этом, что нужно быть делосским водолазом, чтобы не захлебнуться в ней".

Надеюсь, теперь большинство читателей этой книги догадались, почему автор посвятил её “делосским ныряльщикам”…

P.S. Очевидно, что в качестве аксиом 2-4 ФЛ могут быть взяты любые их следствия (полная и независимая система) и при этом суждения 2-4 превращаются в теоремы. Однако традиция закрепила за суждениями 2-4 статус «основных» законов традиционной логики…

Плохо то, что в случае замены «основных законов» на «неосновные» при формировании системы аксиом в неявном виде в формальную систему (незаметно для неофитов) протаскивается закон тождества…

Вернёмся на мгновение к "Ружью №4" (неформализуемость категорий в рамках ФЛ). Следствием этого для философа является полный запрет анализировать любые суждения, содержащие категории, исходя из “здравого смысла”, замешанного на логической парадигме ФЛ. Любая теоретическая спекуляция и интуиция в этом сегменте познания запрещена, так как закон тождества не позволяет мыслить категории как качественно саморазвивающиеся.

Следовательно, в рамках ФЛ (традиционного мышления) генерировать обоснованные прогнозы не только не представляется возможным, а полностью запрещено.

Закон тождества – это ПУТЬ для решения бесконечного счётного множества проблем, но, одновременно, ПРЕГРАДА для решения бесконечно бесконечного множества проблем, обладающего мощностью множества континуум…

Что это за ПРЕГРАДА?

В чём её сущностный СМЫСЛ?

В том, что в реальности “за окном черепной коробки” ВСЁ ТЕЧЁТ, всё непрерывно изменяется. Если для метода математической индукции принципиально не алгоритмизуемый этап можно просто обойти методом подбора подходящей формулы, то в реальной действительности для осуществления огромного количества практических действий вообще не существует никаких алгоритмов и тогда на помощь приходит ТВОРЧЕСТВО, принципиально несовместимое с законом тождества.

Любой МЕТОД – это всегда ПУТЬ и ПРЕГРАДА одновременно так же, как и РЕКА: если Вам по пути с рекой, то она – путь, если Вам требуется её пересечь, то река…